Diferensial membahas tentang tingkat
perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas
fungsi yang bersangkutan. Dengan diferensial dapat pula disidik
kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik
maksimum, titik belok dan titik minimumnya. Secara umum, membentuk sebuah
fungsi dapat dilakukan dengan cara terlebih dahulu menemukan kuosien
diferensialnya, kemudian menentukan
limit kuosien diferensial tersebut untuk menambah variabel bebas mendekati nol.
Jelasnya langkah-langkahnya sebagai berikut (Dumairy 1999) :
Andaikan fungsi aslinya adalah y=f(x)
Memasukkan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh y+dy=f(x+dx)
Manipulasikan untuk memperoleh dy=f(x+dx)-f(x)
Bagi kedua ruas dengan dx sehingga memperoleh kuosien
diferensinya dy/dx=f(x+dx)-f(x)
Tentukan limitnya untuk dx®0 sehingga diperoleh
turunan fungsinya
Berikut ini disajukan sejumlah kaidah yang dapat digunakan untuk
menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu, yaitu (Dumairy 1999) :
- Diferensial
Konstanta
Jika y = k
dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0
- Diferensial
Fungsi Pangkat
Jika y = x n dimana n adalah konstanta, maka
dy/dx = nx n-1
- Diferensial
Perkalian Konstanta dengan Fungsi
Jika y = kv dimana v = h(x), maka dy/dx = k . dy/dx
- Diferensial
Pembagian Konstanta dengan Fungsi
Jika y
= k/v dimana v = h(x), maka dy/dx = -k . dv/dy
v2
- Diferensial
Penjumlahan (pengurangan) Fungsi
Jika y = u ± v,
dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy/dx = du/dx ± dv/dx
- Diferensial
Perkalian Fungsi
Jika y
= uv, dimana u = g(x) dan v = h(x) maka dy = u dv + v du
dx dx dx
- Diferensial
Pembagian Fungsi
Jika y = u/v
dimana u = g(x) dan v = h(x)
Maka dy
= v. du – u. dv
dx dx dx
v2
- Diferensial
Fungsi Komposit
Jika y = ƒ(u)
sedangkan u = g(x) dengan kata lain y = ƒ{ g(x)}
Maka dy/ dx = dy/du
. du/dx
- Diferensial
Fungsi Berpangkat
Maka dy/dx = nu
n-1 . du/dx
- Diferensial
Fungsi Logaritmik
Jika
y = a log x, maka dy/dx = 1 /
x in a
- Diferensial
Fungsi Komposit – Logaritmik
Jika y = a log u,
dimana u = g(x) maka dy/dx = a log e/u . du/dx
- Diferensial
Fungsi Komposit – logaritmik Berpangkat
Jika y = ( a log u) n , dimana u = g(x) dan n adalah konstanta
Maka dy/dx = dydu .
a log e/u . du/dx
- Diferensial
Fungsi Logaritmik – Napier
Jika y = In x,
maka dy/dx = 1/x
- Diferensial
Fungsi Komposit – Logaritmik Napier
Jika y = In u, dimana u = g(x), maka dy/dx = 1/u . du/dx
- Diferensial
Fungsi Komposit Logaritmik Napier Berpangkat
Jika y = (In u)
n , dimana u = g(x) dan n adalah konstanta
Maka dy/dx = dy/du
. 1/u . du/dx
- Diferensial
Fungsi Eksponensial
Jika y = ax,
dimana a adalah konstanta, maka dy/dx = a x In a
- Diferensial
Fungsi Komposit – Eksponensial
Jika y = au,
dimana u = g(x) maka dy/dx = au In a du/dx
- Diferensial
Fungsi Kompleks
Jika y = uv,
dimana u = g(x) dan v = h(x)
Maka dy/dx = vuv-1
. du/dx +uv . In u . dv/dx
- Diferensial
Fungsi Balikan
Jika y = ƒ(x)
dan x = g (y) adalah fungsi-fungsi
yang saling berbalikan (inverse fungsions),
maka dy/dx = 1/ dx/dy
- Diferensial
Implisit
Jika ƒ(x,y) = 0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak
mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat
diperoleh dengan mendiferensiasikannya suku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x
Pendekatan kalkulus diferensial amat berguna untuk
menyidik bentuk gambar suatu fungsi non-linier. Dengan mengetahui besarnya
harga dari turunan pertana dan kedua sebuah fungsi akan dapat dikenali bentuk
gambar dari fungsi tersebut.
B. Persamaan Diferensial Ordo Satu
Dilihat dari bentuk dan cara penyelesaiannya, persamaan
diferensial ordo
satu dapat dibedakan menjadi beberapa jenis yaitu (Budiono Sri Handoko
1974) :
1.
Variabel yang Dapat
Dipisahkan
2.
Persamaan diferensial dimana variabel-variabelnya dapat dipisahkan adalah
persamaan yang dapat diatur sehingga dapat dituliskan dalam bentuk yaitu:
M(x) dx + N(y) dy = 0
Penyelesaian persamaan ini dapat dilakukan secara
langsung dengan mengintegralkan masing-masing sukunya menurut persamaan.
∫M(x) dx + ∫N(y) dy = C (C suatu konstanta)
